Question

等差数列

数列{an}中，an+1＋an＝3n－54 （n属于N+）
（1）若a1＝-20，求{an}的通项公式an
（2）设Sn为{an}的前n项和，当a1＞-27时，求Sn的最小值

Answer 1

数列{an}中，a<n+1>＋an＝3n－54 ,①
以n+1代n,得a<n+2>+a<n+1>=3n-51,②
②-①，a<n+2>-an=3,
(1)由①，a2+a1=-51,a1=-20,
∴a2=-31.
∴a<2k-1>=-20+3(k-1)=3k-23=(3/2)(2k-1)-43/2,k∈N+,
a<2k>=-31+3(k-1)=3k-34,
综上，an=3n/2-111/4-(25/4)(-1)^n.
(2)a1>-27时a2<-24
Sn最小，
<==>an=Sn-S<n-1><=0,且a<n+1>=S<n+1>-Sn>=0,
<==>a1<=a2时,a1<=-51/2<=a2,
a<2k-1>=a1+3(k-1)<=0,a<2k>=a2+3(k-1)>=0，
9<k<10,无解；
a1>a2时a1>-51/2>a2,a<2k>=a2+3(k-1)<=0,a<2k+1>=a1+3k>=0,
k=9,a18<0<a19,
S18最小，S18=9(a1+a2)+9*8*3=-243.

Answer 2

解：（1）∵ {an+1+an=3n-54an+2+an+1=3n-51，两式相减得an+2-an=3，
∴a1，a3，a5，，与a2，a4，a6，都是d=3的等差数列
∵a1=-20
∴a2=-31，
①当n为奇数时， an=-20+(n+1/2-1)×3=3n-43/2；
②当n为偶数时， an=-31+(n/2-1)×3=3n-68/2；
（2）①当n为偶数时，Sn=（a1+a2）+（a3+a4）++（an-1+an）
=（3×1-54）+（3×3-54）++[3（n-1）-54]=3[1+3+5++（n-1）]- n/2×54= 3/4n^2-27n=3/4(n-18)^2-243，
∴当n=18时，（Sn）min=-243；
②当n为奇数时，Sn=a1+（a2+a3）++（an-1+an）= 3/4n^2-27n+105/4+a1=3/4(n-18)^2-216*3/4+a1，
∴当n=17或19时（Sn）min=a1-216＞-243；综上，当n=18时（Sn）min=-243．