Question

求极值和最值

一、设z=z(x,y)是由x²－6xy＋10y²－2yz－z²＋18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值。
二、已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx－2ydy，并且f(1,1)=2。求f(x,y)在椭圆域D={(x,y)|x²+y²/4≦1}上的最大值和最小值。
请写详细过程，非常感谢O(∩_∩)O~

Answer 1

1.设F(x,y,z)=x²－6xy＋10y²－2yz－z²＋18
∂z/∂x=-[∂F/∂x]/[∂F/∂z]=(2x-6y)/(2y+2z)=0 , x=3y
∂z/∂y=-[∂F/∂y]/[∂F/∂z]=(6x-20y+2z)/(2y+2z)=0 , 3x-10y+z=0
联立可得y=z,代入原方程y=±3=z,x=±9,即点(9,3,3)和点(-9,-3,-3)为驻点
故z在(9,3)取最大值=3,在(-9,-3)取最小值=-3

2.易知f(x,y)=x²-y²+C,代入f(1,1)=2,C=2,f(x,y)=x²-y²+2,f'x(x,y)=2x=0,f'y(x,y)=-2y=0,可知f(x,y)在区域内取得驻点(0,0),这时f(x,y)=0。再考察边界上的点,x²+y²/4=1,x²=1-y²/4,代入f(x,y)得f(y)=3-5y²/4,y∈[-2,2]
-2=<f(y)<=3
综上：fmax=3,在(1,0)点取得,
fmin=-2,在(0,±2)点取得

不知道做对没有..

追问

书上第一题答案是极小值点为3，极大值为-3！估计是写反了
第二题答案是最大值点为（1,0）， （-1,0），最大值为3
最小值点为（0,2），最小值为-2

追答

第一个问应该是写反了，因为只有2个驻点，不可能出现极大值比极小值小的情况，不过更严谨的做法是求二阶偏导数,用AC-B²来判断；
第二个问应该是fmax=3,在(±1,0)点取得,fmin=-2,在(0,±2)点取得吧。