Question

线性代数，二次型问题

两道题给了20财富，麻烦老师给下过程。

Answer 1

第一问直接做变换y1=-2x1+x2+x3，y2=x1-x2+x3，y3=x1+x2-2x3即可，因为此变换是可逆的
第二问先写出此二次型的度量矩阵，把它合同变换成对角矩阵即可，有两种方法，一种是先求特征根，再依次求特称向量，单位正交化，组成替换矩阵P，另一种是直接对度量矩阵做合同变换，做依次行变换，紧接着对称做相应的列变换，直至完成。结果是对角线上n个1，n个-1.

Answer 2

(1)f(x1,x2,x3) = (-2x1+x2+x3)^2+(x1-x2+x3)^2+(x1+x2-2x3)^2
令 C =
-2 1 1
1 -1 1
1 1 -2
因为 |C|=3≠0
所以 C 可逆.
令 Y = CX, 即 X=C^-1Y, 则
f = y1^2+y2^2+y3^2.

(2)f(x1,x2,...,x2n) = x1x2n+x2x2n-1+...+xnxn+1
令 y1 = x1+x2n
y2n = x1-x2n
y2 = x2+x2n-1
y2n-1 = x2-x2n-1
...
yn = xn+xn+1
yn+1 = xn-xn+1
则 f = y1^2+y2^2+...+yn^2 - yn+1^2 - ...-y2n ^2
C =
1 0 ... 0 1
0 1 ... 1 0
... ...
0 1 ... -1 0
1 0 ... 0 -1
Y = CX