Question

如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AE是角平分线，交CD与点F，EG⊥AB，G为垂足。试说明CEGF是菱形。

Answer 1

因为AE是角平分线，EG垂直AB，AC垂直BC
所以角AEC=角AEG，CE=EG
因为CD垂直AB，EG垂直AB
所以CD平行EG，角CFE=角AEG
又因为角AEC=角AEG，角CFE=角AEG
所以角AEC=角CFE
所以CF=CE
又因为CF=CE，CE=EG
所以CF=EG
又因为CF平行且等于EG
所以四边形CFGE为平行四边形
又因为CE=EG
所以四边形CFGE为菱形

Answer 2

因为CD⊥AB,EG⊥AB 所以CD∥EG 即CF∥EG
又因为 CF∥GE 所以∠CFE＝∠FEG
AE是∠A得角平分线 所以∠CEF＝∠FEG 且CE=EG(角平分线上一点到两边的距离相等)
所以∠CEF=∠CFE
所以CF=CE(△CFE为等腰三角形)
所以 CF=EG
所以CFGE为菱形

Answer 3

又因为∠FAD+∠AFD=90° ∠CAE+∠CEA=90° 所以∠AFD=∠CEA
而∠AFD=∠CFE 所以 CE=CF
又因为EG⊥AB CD⊥AB 所以CD与EG平行
所以CFGE为平行四边形
因为∠CAE=∠ECG ∠ACB=90°=∠EGA AE=AE 所以△ACE与△AGE全等 CE=EG
所以CFGE为菱形

Answer 4

EC⊥AC，EG⊥AG，∠CAE=∠GAE，∴△CAE全等于△GAE，∴CE=EG；∵△ACD相似于△ABC，∴∠ACD=∠ABE，又∵∠CFE=∠ACD+∠FAC，∠CEA=∠EAB+∠ABE，∠FAC=∠EAB，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF；∵EG⊥AB，CD⊥AB，∴EG∥CF，∵CE=CF=EG，所以四边形CEGF是菱形