Question

高中数学零点问题。

已知f(x)=-x^3-2x+4,求证此函数有且仅有一个零点。
不要用导数的方法，我没学，用函数单调性。帮我推导一下。

Answer 1

设x1>x2
f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1^2+x2^2+x1*x2+2)（1）
f(x1)-f(x2)=(x2-x1)[(x1+x2)^2-x1*x2+2]（2）
若x1,x2同号，则由1式可得f(x1)<f(x2)
若x1,x2异号，则由2式可得f(x1)<f(x2)
综合上述，则函数f(x)单调递减
而f(0)=4>0,f(2)=-8<0，由于该函数单调，由图像易得
所以该函数在（0,4）上有且只有一个零点

追问

而f(0)=4>0,f(2)=-8<0,这一步哪来的？

追答

随便取两个函数值，只要证明该函数有一个小于0的点（2，-8）和一个大于0的点（0,4）即可，这样函数图象必然从x轴的下方穿越到上方，而且该函数又是单调函数，从而与x轴只有一个交点