Question

抽象代数（近世代数）中的一个问题...关于循环群

G是一个群，k是正整数，记G^k={a^k|a属于k}，如果G的每个子群都是G^k这样的集合，求证G是一循环群。（《代数学引论》第二版，聂灵沼、丁石孙，第二章习题，P97/9）

Answer 1

看图吧

虽然思路看上去挺简单的，不过要从头到尾做下来确实不太容易

追问

感谢，请问这个资料的来源是？

追答

《近世代数三百题》

Answer 2

我还没完成，提点个人意见。
首先由 G=G^k 推不到G 为循环群，令k=1就可以了。
按照赵春来，徐明曜的书，思路如下：
（1）证明 exp（G）有限
(2) 设G的元素中，阶最大的为b , 设o(b)= n
设 <b>= G^r , 证明r,n 互素
(3)证明 <b>=G

我只做到第2步。
当然您也可以用别的方法。

Answer 3

G本身就是其自身的一个子群, 所以G=G^k为循环群

追问

这不叫证明吧...哪有这么简单

追答

我看了原题，其实原题是说G是循环群的充分必要条件是G的每个子群都是G^k这样的集合
要说难应该是必要性难

追问

为什么必要性难？已知循环群的话就可以同构于Z或nZ了，不就很显然了么？充分性我真的不会了....求解释。

追答

呵呵，必要性确实如此。充分性你是否想复杂了，或者问题应该是”G的每个真子群都是G^k这样的集合“。

追问

嗯...我刚学，还是不理解为何“G的每个真子群都是G^k这样的集合”能过渡到G是循环群..见笑了，麻烦详细点拨一下吧

追答

抱歉，一时半伙想不出来。看看有没有其他人能帮上你的忙。