Question

线性代数证明题： 如果存在正整数k使得A^k=0，则称A为幂零矩阵。证明幂零矩阵的特征值为0。

Answer 1

设 a 是A的特征值.
则 a^k 是 A^k 的特征值
而 A^k=0, 零矩阵的特征值只有0
所以 a^k = 0
所以 a = 0
所以 幂零矩阵的特征值只能为0

追问

这个是用了什么定理么？

追答

设 f(x) 是一个多项式
a是A的特征值, 则 f(a) 是 f(A)的特征值
这是原定理

Answer 2

设t是A的一个特征值，x是对应的特征向量
Ax=tx
AAx=Atx=t^2x
归纳可得A^nx=t^nx
所以A^k=t^kx=0，t^k是A^k的特征向量
等式恒成立只有t=0