Question

数列问题，求大侠们指点~~~

设数列{an}的首项a1=3/2,前n项和为Sn，且满足2a（n+1）+Sn=3
（1）求a2及an
（2）求满足18/17<S2n/Sn<8/7的所有n的值

Answer 1

(1)an+1=Sn+1-Sn
2Sn+1-2Sn+Sn=3
2Sn+1=Sn + 2
假设存在k使得
2(Sn+1 +k )=Sn+k
k=-2
所以2(Sn+1 -2 )=Sn - 2
Sn+1-2=1/2*(Sn -2)
令bn=Sn -2,则bn是一首项为b1=S1-2=a1-2=3/2-2=-1/2
公比为1/2的等比数列,bn=-1/2*1/2^(n-1)=-(1/2)^n
b2=1/2*b1
=-1/4=S2-2
=a1+a2-2
a2=2-1/4-a1=1/4
an=Sn - Sn-1=(Sn - 2)-(Sn-1 - 2)=bn-bn-1
=-1/2^n--*1/2^(n-1)=1/2^n, n>1
a1=3/2
(2)Sn=bn+2=2-(1/2)^n
所以18/17<[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]<8/7
n=1,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[7/4]/[3/2]=7/6=1+1/6>1+1/7=8/7
n=2,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[31/16]/[7/4]=31/28=1+3/28
1/17=3/51<3/28<3/21=1/7,所以n=2符合
n=3,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[127/64]/[15/8]=127/120=1+7/120<1+7/119=1+1/17=18/17
n=4,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[511/256]/[31/16]=511/496=1+15/496<1+15/255=1+1/17=18/17
所以只有n=2满足
可以解方程，但是没有必要
另一种办法
[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]-1=[(1/2)^n-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]
=(1/2)^n[1-(1/2)^n]/[2-(1/2)^n],随着n增大，2-(1/2^n)~2,1-(1/2^n)~1,而(1/2^n)递减，所以整体递减，当n>3之后，就小于18/17了，所以n=2是唯一解

Answer 2

第一问：2a2+a1=3；a1=3/2；可以推出a2=3/4。
2a（n+1）+Sn =3；
2an +Sn-1=3；相减得2a（n+1）=an；等比数列。
an=a1*q^(n-1)=3/2*(1/2)^(n-1)=3*(1/2)^n.
第二问：