数列问题,求大侠们指点~~~
设数列{an}的首项a1=3/2,前n项和为Sn,且满足2a(n+1)+Sn=3(1)求a2及an(2)求满足18/17<S2n/Sn<8/7的所有n的值...
设数列{an}的首项a1=3/2,前n项和为Sn,且满足2a(n+1)+Sn=3
(1)求a2及an
(2)求满足18/17<S2n/Sn<8/7的所有n的值 展开
(1)求a2及an
(2)求满足18/17<S2n/Sn<8/7的所有n的值 展开
2个回答
展开全部
(1)an+1=Sn+1-Sn
2Sn+1-2Sn+Sn=3
2Sn+1=Sn + 2
假设存在k使得
2(Sn+1 +k )=Sn+k
k=-2
所以2(Sn+1 -2 )=Sn - 2
Sn+1-2=1/2*(Sn -2)
令bn=Sn -2,则bn是一首项为b1=S1-2=a1-2=3/2-2=-1/2
公比为1/2的等比数列,bn=-1/2*1/2^(n-1)=-(1/2)^n
b2=1/2*b1
=-1/4=S2-2
=a1+a2-2
a2=2-1/4-a1=1/4
an=Sn - Sn-1=(Sn - 2)-(Sn-1 - 2)=bn-bn-1
=-1/2^n--*1/2^(n-1)=1/2^n, n>1
a1=3/2
(2)Sn=bn+2=2-(1/2)^n
所以18/17<[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]<8/7
n=1,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[7/4]/[3/2]=7/6=1+1/6>1+1/7=8/7
n=2,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[31/16]/[7/4]=31/28=1+3/28
1/17=3/51<3/28<3/21=1/7,所以n=2符合
n=3,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[127/64]/[15/8]=127/120=1+7/120<1+7/119=1+1/17=18/17
n=4,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[511/256]/[31/16]=511/496=1+15/496<1+15/255=1+1/17=18/17
所以只有n=2满足
可以解方程,但是没有必要
另一种办法
[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]-1=[(1/2)^n-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]
=(1/2)^n[1-(1/2)^n]/[2-(1/2)^n],随着n增大,2-(1/2^n)~2,1-(1/2^n)~1,而(1/2^n)递减,所以整体递减,当n>3之后,就小于18/17了,所以n=2是唯一解
2Sn+1-2Sn+Sn=3
2Sn+1=Sn + 2
假设存在k使得
2(Sn+1 +k )=Sn+k
k=-2
所以2(Sn+1 -2 )=Sn - 2
Sn+1-2=1/2*(Sn -2)
令bn=Sn -2,则bn是一首项为b1=S1-2=a1-2=3/2-2=-1/2
公比为1/2的等比数列,bn=-1/2*1/2^(n-1)=-(1/2)^n
b2=1/2*b1
=-1/4=S2-2
=a1+a2-2
a2=2-1/4-a1=1/4
an=Sn - Sn-1=(Sn - 2)-(Sn-1 - 2)=bn-bn-1
=-1/2^n--*1/2^(n-1)=1/2^n, n>1
a1=3/2
(2)Sn=bn+2=2-(1/2)^n
所以18/17<[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]<8/7
n=1,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[7/4]/[3/2]=7/6=1+1/6>1+1/7=8/7
n=2,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[31/16]/[7/4]=31/28=1+3/28
1/17=3/51<3/28<3/21=1/7,所以n=2符合
n=3,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[127/64]/[15/8]=127/120=1+7/120<1+7/119=1+1/17=18/17
n=4,[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]=[511/256]/[31/16]=511/496=1+15/496<1+15/255=1+1/17=18/17
所以只有n=2满足
可以解方程,但是没有必要
另一种办法
[2-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]-1=[(1/2)^n-(1/2)^2n]/[2-(1/2)^n]
=(1/2)^n[1-(1/2)^n]/[2-(1/2)^n],随着n增大,2-(1/2^n)~2,1-(1/2^n)~1,而(1/2^n)递减,所以整体递减,当n>3之后,就小于18/17了,所以n=2是唯一解
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询