Question

如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC已知

求证（1）CD⊥DF；
（2）BC=2CD

Answer 1

解答要点：

1）

作直径AG，连接BG

则∠ABG是直角

所以∠G+∠BAG＝90度

因为AB＝AD

所以弧AB＝弧AD，

所以弧BG＝弧DG

所以∠G＝∠ACD，∠BAG＝∠DAG＝∠BAD/2

因为∠BAD=2∠DFC 

所以∠DFC＝∠BAG

所以∠DFC+∠ACD＝90度

所以CD⊥DF

2）

作FH⊥BC

因为弧AB＝弧AD

所以∠ACD＝∠ACB

因为∠CDF＝∠CHF＝90度，CF＝CF

所以△CDF≌△CHF

所以CD＝CH，∠CFD＝∠CFH

因为∠BFC＝2∠CFD

所以∠BFH＝∠CFH＝∠CFD

因为∠BHF＝∠CHF＝90度，FH＝FH

所以△CFH≌△BFH

所以BH＝CH

所以BH＝CH＝CD

所以BC＝2CD

江苏吴云超解答  供参考！

Answer 2

证明：（1）∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF．

（2）过F作FG⊥BC，
∵∠ACB=∠ADB，
又∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC= ∠BAD=∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC=∠DFC，FC=FC，∠ACB=∠ACD）．
∴CD=GC= BC．
∴BC=2CD．
图片就不传了

Answer 3

（1）∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，
∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF．

（2）过F作FG⊥BC，
∵∠ACB=∠ADB，
又∵∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC= ∠BAD=∠DFC．
又∵∠GFC=∠DFC，FC=FC，∠ACB=∠ACD
∴△FGC≌△DFC
∴CD=GC= BC．
∴BC=2CD．
我也刚做到这题

Answer 4

在三角形ABD和FCB中，∠BAD=∠CFB，由AB=AD，知∠FCB=∠ABD，故∠FBC=∠BDA，因此AD//BC，AB=CD=AD.

再由AB=AD，知∠ACB=∠ACD，又知道∠BAD+∠BCD=180度，即2∠DFC+2∠FCD=180度，所以∠DFC+∠FCD=90度，∠FDC=90度，CD⊥DF

过F做FG⊥BC于G，可知，△FGC与△FDC全等，所以∠DFC=∠GFC=∠BFG，即FG是∠BFC的角平分线，所以FBC是等腰三角形，∠DBC=∠FCB=∠FBC，所以F是AC和BD的交点，从而∠BFC+∠DFC=180度，角DFC=60度，∠FCD=∠FCB=30度，在三角形BDC中，角BDC是直角，角DBC=30度，所以BC=2CD

Answer 5

证明：（1）∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF．

（2）过F作FG⊥BC，
∵∠ACB=∠ADB，
又∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC= ∠BAD=∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC=∠DFC，FC=FC，∠ACB=∠ACD）．
∴CD=GC= BC．
∴BC=2CD．