Question

若a，b，c为三角形ABC的三边长，试判断代数式（a平方+b平方-c平方）的平方-4a平方b平方的值是正数还是负数

Answer 1

（a^2+b^2-c^2）^2-4a^2b^2
=（a^2+b^2-c^2+2a^2b^2）（a^2+b^2-c^2-2a^2b^2）
=【（a+b）^2-c^2】【（a+b）^2-c^2】
=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）
=（a+b+c）（a+b-c）（a+c-b）【a-（b+c）】
a，b，c为三角形ABC的三边长，即a+b+c＞0，a+b-c＞0，a+c-b＞0，a-（b+c）＜0
所以原始==（a+b+c）（a+b-c）（a+c-b）【a-（b+c）】＜0
即（a^2+b^2-c^2）^2-4a^2b^2是负数

Answer 2

(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)
=[(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]
=(a-b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c)
根据两边之和大于第三边
所以a-b-c<0,a-b+c>0,a+b+c>0,a+b-c>0
所以(a-b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c)<0
即(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2的值是负数

Answer 3

补充：知识点——余弦定理　
设a,b两边的夹角为A，则根据余弦定理得，c^2＝a^2+b^2-2abcosA
把上式代入求解代数式中，得，
（a^2+b^2-c^2）^2-4a^2b^2
＝（a^2+b^2-a^2-b^2+2abcosA -4a^2b^2
＝ 4a^2b^2(cosA)^2 -4a^2b^2
＝4a^2b^2（(cosA)^2-1）
因为(sinA)^2+(cosA)^2=1
所以上式继续化简得。
（a^2+b^2-c^2）^2-4a^2b^2＝-4a^2b^2(sinA)^2

在三角形中内角A的范围在0度和180度之间， 0<sinA<=1,
所以 (sinA)^2>0
显然，三角形的边长都大于0，所以 4a^2b^2>0
所以-4a^2b^2(sinA)^2<0
所以（a^2+b^2-c^2）^2-4a^2b^2<0，即结果是负数。

Answer 4

负数
在三角形里，a平方+b平方+c平方=2abcosC；
则（a平方+b平方-c平方）的平方=4a平方b平方cosC平方；
三角形里cosC平方不可能等于1，所以必然小于1，也就是说4a平方b平方cosC平方小于4a平方b平方，相减当然小于0了

Answer 5

a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2
=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)
=[(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]
=(a-b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c)
根据两边之和大于第三边
所以a-b-c<0,a-b+c>0,a+b+c>0,a+b-c>0
所以(a-b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a+b-c)<0
即(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2的值是负数