Question

抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A(0,1)和M(2,3)

（1)若抛物线的对称轴为直线x=-1，求此抛物线的解析式
(2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围
（3）如果抛物线与x轴交与B ,C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值

Answer 1

∵过点A(0,1)和M(2,3)：
∴1 = 0+0+c，且3 = 4a+2b+c
∴c=1，2a+b=1，b=1-2a

（1)若抛物线的对称轴为直线x=-1，求此抛物线的解析式
对称轴x = -b/(2a) = -1，b=2a
a = 1/袜告4，b=1/2
y = 1/4x^2+1/2x+1

(2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围
y=ax^2+(1-2a)x+1
对称轴在y轴的左侧，即x = -(1-2a)/(2a) = (a-1/2)/a ＜0
0＜a＜1/2

3）如果抛物线与x轴交与，且∠BAC=90°，睁搜求此时a的值
令y=ax^2+(1-2a)x+1=0
x^2 - (2-1/a)x + 1/a = 0
根据韦达定理：
x1x2 = 1/a

∵与悉好历x轴交与B ,C两点，且∠BAC=90°
令B ,C两点横坐标分别为x1，x2，根据勾股定理：
(x1^2+1^2)+(x2^2+1^2) = (x2-x1)^2
2 = -2x1x2
x1x2=-1

∴1/a = -1
∴a=-1

Answer 2

解：将A、M的坐标代入抛物线的解析式中有：
，
解得：∴抛物线的解析式为y=ax2-（2+2a）x+1．
（1）∵x=- =-1，
∴ =-1，
解得a=- ．
∴抛物线的解析式为y=- x2-x+1．
（2）由题意知：x=- ＜0，即 ＜0；
∵抛物线开口向下，野让
∴a＜0
∴1+a＞0，且a＜0
∴-1＜a＜0．
（3）设B（x1，0），C（x2，0），x1＜x2；
∵x1x2= ，且a＜0．
∴x1x2＜0，即B在x轴负半轴，C在x轴正半轴；
∴OB=-x1，OC=x2．
∵∠BAC=90°，
在直角三角形BAC中，埋念AO⊥BC，根据弯脊困射影定理可得：
OA2=OB•OC=-x1•x2=1，即- =1，a=-1

Answer 3

带入求出第一题，后两题也简单乱枯，
（2）根据抛物线经过AMl两点带入在加上对称轴昌缺方程列式，就可以确定a的范哗迅洞围，
吓一跳
（3）利用勾股定理很简单的