Question

不定积分 倒代换

倒代换
∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(-1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt
那这样的话不是∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=0？
求解答啊~~~纠结~~~
倒代换到底在哪些地方可以使用？为什么有的分母高次时可以用？不好意思，我写式子的时候写错了，多了个负号~~~
∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=∫t^2*(t^2+1)/(t^4+1)d(1/t)=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt

Answer 1

∫[(x²+1)/(x⁴+1)]dx=∫[t²(t²+1)/(t⁴+1)]d(-1/t)=-∫[(t²+1)/(t⁴+1)]dt
那这样的话不是∫(x²+1)/(x⁴+1)dx=0？
求解答啊~~~纠结~~~
答：何谓“倒代换”，我第一次听说，不知何意。但就本题讲，运算是错的！
∵d(-1/t)=dt/t²，∴∫[t²(t²+1)/(t⁴+1)]d(-1/t)=∫[(t²+1)/(t⁴+1)]dt，右边的积分符号前面没有负号。
那就是说他这个代换没有任何意义！也就不会有∫(x²+1)/(x⁴+1)dx=0的荒谬结论。
令x=tanu，则dx=sec²udu，于是∫[(x²+1)/(x⁴+1)]dx=∫[(sec⁴u)/(tan⁴u+1)]du
=∫[(sec⁴u)/(sin⁴u+cos⁴u)sec⁴u]du=∫du/(sin⁴u+cos⁴u)=∫du/[(sin²u+cos²u)²-2sin²ucos²u]
=∫du/[1-(1/2)sin²2u]=∫du/[1-(1/4)(1-cos4u)]=4∫du/(3+cos4u)

Answer 2

设G(x)=∫(x^2+1)/(x^4+1)dx, 倒代换x=1/t之后, 虽然有
∫(x^2+1)/(x^4+1)dx=-∫(t^2+1)/(t^4+1)dt
但左边积分号中的t是绝对不能换成x的, 这不是定积分, 这里只意味着
G(x)=-G(t)=-G(1/x)罢了, 这只是原函数G(x)的某个性质

Answer 3

真是伟大的发明啊，我问过很多人，看不出来毛病，看来要数学系的高人来才行。先做个记号。