Question

焦点与椭圆上的最短距离怎么求?

怎么判断椭圆上哪一点到焦点距离最短？点到焦点的最短距离怎么求？

Answer 1

对应焦点的那个顶点离焦点最近（如与右焦点最近的是右定点），现就证明右顶点离右焦点最近吧：设椭圆上的一点为（acosθ，bsinθ），右焦点为（c，0），则d²＝（acosθ－c）²＋（bsinθ－0）²＝a²cos²θ＋b²sin²θ－2accosθ＋c²＝a²cos²θ＋b²（1－cos²θ）－2accosθ＋c²＝（a²－b²）cos²θ－2accosθ＋b²＋c²＝c²cos²θ－2accosθ＋a²，所以对称轴为cosθ＝a／c＞1，所以当cosθ＝1（即θ＝0，也就是又焦点）时d²最小且为（a－c）²，所以d最小为a－c

Answer 2

对应焦点的那个顶点离焦点最近（如与右焦点最近的是右定点），现就证明右顶点离右焦点最近吧：设椭圆上的一点为（acosθ，bsinθ），右焦点为（c，0），则d²＝（acosθ－c）²＋（bsinθ－0）²＝a²cos²θ＋b²sin²θ－2accosθ＋c²＝a²cos²θ＋b²（1－cos²θ）－2accosθ＋c²＝（a²－b²）cos²θ－2accosθ＋b²＋c²＝c²cos²θ－2accosθ＋a²=a²－2accosθ＋c²cos²θ=（a-ccosθ)²，所以对称轴为cosθ＝a／c＞1，所以当cosθ＝1（即θ＝0，也就是又焦点）时d²最小且为（a－c）²，所以d最小为a－c

Answer 3

垂直时候最短啊。就是那一点的横坐标和焦点的横坐标一样，即连接椭圆上一点和焦点，如果连线垂直于X轴则那一点到焦点的距离最短。