Question

如图所示，已知AB是圆O的直径，AP是圆O的切线，A是切点，BP与圆O交于点C，若D为AD中点，求证：直线CD是圆O

的切线 完整的步骤谢了 步骤不全就不要写了

Answer 1

【D为AP的中点，求证CD是圆O的切线】
证明：
连接AC，OC
∵AB为圆O的直径
∴∠ACB=90º
∴∠ACP=90º
∵D是AP的中点
∴CD=½AP=AD
∴∠DAC=∠DCA
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠DAC+∠OAC=∠DCA+∠OCA
即∠OAD=∠OCD
∵PA是圆O的切线
∴∠OAD=90º
∴∠OCD=90º
∴CD是圆O的切线

Answer 2

证明：【D应为AP的中点】
连接AC
则∠ACB=90º【直径所对的圆周角是直角】
∴∠PCA=90º
∵D是AP的中点【根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半】
∴CD=AD=DP
∴∠DAC=∠DCA
【为了简单易懂】
连接OC
∵OC=OA
∴∠OAC=∠OCA
∴∠PAO=∠DAC+∠OAC=∠DCA+∠OCA=∠DCO
∵AP是圆O的切线
∴∠PAO=∠DCO=90º
∴CD是⊙O的切线

Answer 3

如图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，有∠ACP=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴ ．

∴∠DAC=∠DCA．

又∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，

∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．

即OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

Answer 4

如图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，有∠ACP=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴ ．

∴∠DAC=∠DCA．

又∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，

∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．

即OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．

Answer 5

解：如下图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，∠ACP=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴∠DAC=∠DCA．

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA．

∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，

∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．

∴OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．