Question

已知函数f(x)=loga（x+1/x-1）(a>0,且a不等于1) 1.求f（x）的定义域 2.求f（x）的值域

3.判断函数f（x）的奇偶性
4.判断函数f(x)的单调性

Answer 1

1 、x+1/x-1>0 x>1或x<-1
2、g（x）=x+1/x-1的值域为g（x）≠1
所以f(x)=loga（x+1/x-1）(a>0,且a不等于1)的值域为f（x）≠0
3、f（-x）=loga（-x+1/x+1）= - loga（x+1/x-1），所以为奇函数
4、因为g（x）=x+1/x-1=1- + 2/（x-1）为减函数
当0<a<1时f（g）=loga g为减函数，所以复合函数f（x）为增函数
当a>1是f（g）=loga g为增函数，所以复合函数f（x）为减函数

Answer 2

(1) (x+1)/(x-1)>0
(x+1)(x-1)>0
x>1或x<-1
(2) t=(x+1)/(x-1)=(x-1+2)/(x-1)=1+2/(x-1)
x-1≠0
2/(x-1)≠0
所以 t≠1
即t 可以取不是1的所以正数，
所以 值域为(-∞，0）U（0，+∞）
(3) f(x)+f(-x)=loga[(x+1)/(x-1)]+loga[(-x+1)/(-x-1)]
=loga[(x+1)/(x-1)]+loga[(x-1)/(x+1)]
=loga1=0
所以 f(-x)=-f(x)
f(x)是奇函数
(4) t= (x+1)/(x-1)=(x-1+2)/(x-1)=1+2/(x-1)
x>1时，t 是减函数，
x<-1时，t是减函数
y=loga(t)的单调性与a有关
a>1，在定义域内为增函数
0<a<1，在定义域内为减函数
所以 ： a>1, 减区间为(-∞，-1）和（1，+∞）
0<a<1, 增区间为(-∞，-1）和（1，+∞）

Answer 3

(1+x)/(1-x)>0
1+x>0且1-x>0 或 1+x<0且1-x<0
得到定义域是-1<x<1

f(x)=loga [(x+1)/(1-x)]
则f(-x)=loga [(1-x)/(1+x)]
=loga (1-x)-loga (1+x)
=-f(x)
所以f(x)为奇函数