在三角形ABC中,向量AB*向量AC=0
在三角形ABC中,向量AB*向量AC=0若p是三角形ABC所在平面上的一点,且|向量AP|=2∠CAP为锐角，向量AP*向量AC=2向量AP*向量AB=2求|向量AB+向...
在三角形ABC中,向量AB*向量AC=0 若p是三角形ABC所在平面上的一点,且|向量AP|=2 ∠CAP为锐角，向量AP*向量AC=2向量AP*向量AB=2 求|向量AB+向量AC+向量AP|的最小值
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∵AB·AC=0 ∴AB与AC垂直 所以AB与AC夹角为π/2
设AB与AP夹角为α，AC与AP夹角为β，α+β=π/2
∵AP·AB=2 ∴(|AP||AB|)/cosα=2 又AP=2∴|AB|/cosα=1∴|AB|=cosα
∵AP·AC=2 ∴(|AP||AC|)/cosβ=2 又AP=2∴|AC|/cosβ=1∴|AC|=cosβ
|AB+AC+AP|=|cosα+cosβ+2|=|cosα+cos(π/2-α)+2|=|√2 sin(α+π/4)+2|
∵α∈[0,π/2]∴α+π/4∈[4/π,3π/4]
所以当α=0或2/π时有最小值为3
设AB与AP夹角为α，AC与AP夹角为β，α+β=π/2
∵AP·AB=2 ∴(|AP||AB|)/cosα=2 又AP=2∴|AB|/cosα=1∴|AB|=cosα
∵AP·AC=2 ∴(|AP||AC|)/cosβ=2 又AP=2∴|AC|/cosβ=1∴|AC|=cosβ
|AB+AC+AP|=|cosα+cosβ+2|=|cosα+cos(π/2-α)+2|=|√2 sin(α+π/4)+2|
∵α∈[0,π/2]∴α+π/4∈[4/π,3π/4]
所以当α=0或2/π时有最小值为3
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