Question

高数 这题用泰勒公式怎么做？

Answer 1

分别在x0=a处和x0=b处，对f(x)作泰勒展开
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(m)/2*(x-a)^2=f(a)+f''(m)/2*(x-a)^2，其中m∈(a,x)
f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+f''(n)/2*(x-b)^2=f(b)+f''(n)/2*(x-b)^2，其中n∈(x,b)
令x=(a+b)/2
f((a+b)/2)=f(a)+f''(m)/8*(b-a)^2
f((a+b)/2)=f(b)+f''(n)/8*(b-a)^2
两式相减，得：f(b)-f(a)+[f''(n)-f''(m)]*(b-a)^2/8=0
[f''(m)-f''(n)]/2=4/(b-a)^2*[f(b)-f(a)]
4/(b-a)^2*|f(b)-f(a)|=|f''(m)-f''(n)|/2<=[|f''(m)|+|f''(n)|]/2<=max{|f''(m)|,|f''(n)|}
所以存在ξ=m或n∈(a,b)，使得|f''(ξ)|=max{|f''(m)|,|f''(n)|}，有
|f''(ξ)|>=4/(b-a)^2*|f(b)-f(a)|