Question

如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相较于F，求证AC比BC=AF比DF

Answer 1

过点C做CE平行FD，交AB于点E
在三角形CEB中，因为，EC//DF,E为中点，所以，D为EB中点，即ED=BD
又因为，CD垂直AB，
所以，角CDE=CDB=90,
又因，CD=CD
所以，三角形CDE全等三角形CDB
所以，CE=CB

又因为，CE平行FD,
所以三角形ACE相似三角形AFD
所以，AC/CE=AF/DF,
又因为，CE=BC,
所以，AC/BC=AF/DF

Answer 2

证明：
作FG//BC,交AB延长线于G
则∠DBE=∠G
∵CD⊥AB
∴⊿BDC是直角三角形
∵E为BC中点
∴DE=½BC=BE
∴∠EDB=∠DBE
∴∠EDB=∠G
∴FD=FG
∵EG//BC
∴AC/BC=AF/GF
∴AC/BC=AF/DF

Answer 3

过点C作CG平行FD，交AB于点G,
在△CGB中，∵GC//DF,E为中点，∴D为GB中点，即GD=BD
又∵CD⊥AB，
∴∠CDG=∠CDB=90°,
又∵ CD=CD
∴△CDG≌△CDB
∴ CG=CB
又∵ CG∥FD,
∴△ACG∽△AFD
∴ AC:CG=AF:DF,
又∵CG=BC,
∴AC:BC=AF:DF