Question

当m为何值时，方程x²+（m-2）x+（m²+3m+5）=0的2实根的平方和取最大值，并求最大值

Answer 1

根据韦达定理
若x1,x2是方程的两个根，则：
x1+x2=2-m
x1*x2=m^2+3m+5
把x1+x2=2-m这个式子平方一下，得
x1^2+x2^2+2x1x2=m^2-4m+4
又因为x1*x2=m^2+3m+5
∴x1^2+x2^2=-m^2-10m-6
=-(m+5)^2+19≤19
所以当m取-5时，其两实根的平方和取最大值19

Answer 2

x1+x2=2-m，x1×x2=m²+3m+5
x1²+x2²
=（x1+x2）²-2x1x2
=4-4m+m²-2m²-3m-5
=-m²-7m-1
=-（m²+7m）-1
=-（m²+7m+3.5²）-1+3.5²
=-（m+3.5）²+11.25
当m=-3.5时，x1²+x2²最大=11.25