Question

设f(x)的定义域为(0,+无穷),且在（0，+无穷）上为增函数，f(x/y)=f(x)-f(y),

求证：1. f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y). 2. 若f(2）=1，解不等式f(x)-f(1/x-3)<=2

Answer 1

1: f(x/x)=f(x)-f(x)
f(1)=0
f(x/(1/y))=f(x)-f(1/y)
f(xy)=f(x)-f(1/y)………………（1）
当x=1时，
f(y)=-f(1/y)……………………（2）
带回（1）式，得
f(xy)=f(x)+f(y)
得证
2： f(x)-f(1/(x-3))=f(x)+f(x-3) (由2式得)
=f(x(x-3)) (f(xy)=f(x)+f(y))
f(2*2)=f(2)+f(2)=2 即
f(x(x-3))<=f(4)
x(x-3)<=4 (f(x)在定义与内为增函数)
解得-1<=x<=4
因为x〉0
所以0<x<=4为该不等式的解

Answer 2

1、f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0
f(1/y)=f(1)-f(y)=-f(y)
f(xy)=f(x/(1/y))=f(x)-f(1/y)=f(x)+f(y)
第二题题目是1除以（x-3)还是1除x再-3