Question

求I=∮L((x^2)y+x(y^2))dx+((x^2)y-x(y^2))dy

求I=∮L((x^2)y+x(y^2))dx+((x^2)y-x(y^2))dy，其中L为上半圆周x^2+y^2=4x与x轴围成的封闭半圆，逆时针方向

Answer 1

用格林公式， Py=2xy+y^2 Qx=2xy-x^2 设L所围区域为D I=∫∫(D) [Qx-Py]dxdy =∫∫(D) [-x^2-y^2]dxdy =-∫(-π/2→π/2)dθ∫(0→2cosθ)ρ^3dρ =-4∫(-π/2→π/2)(cosθ)^4dθ =-8∫(0→π/2)(cosθ)^4dθ =-8·3/4·1/2·π/2 =-3π/2 【附注】 1、二重积分计算应用极坐标 2、 I(n)=∫(0→π/2)(cosθ)^ndθ 计算应用递推公式 I(n)=(n-1)/n·I(n-2)