Question

在平面直角坐标系中，抛物线过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点

如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点
点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的P的值
麻烦快点，好的加10分

Answer 1

抛物线过A（-1，0），B（3，0), 则抛物线可表达为y = a(x+1)(x-3) = ax² -2ax -3a

抛物线过C（0，-1), -3a = -1, a = 1/3

y = (x+1)(x-3)/3

AB长为4，所以PQ的长也是4。因Q在y轴上，满足该条件的P点的横坐标必然为4或-4.

1. P点的横坐标为4，P(4, 5/3)

2. P点的横坐标为-4，P(-4, 7)

Answer 2

错啦
解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意，
得：a-b+c=09a+3b+c=0c=-1​，
解之得a=
13b=-
23c=-1​，
∴所求抛物线的表达式为y=13x2-23x-1．

（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1，P2．
而当x=4时，y=53；
当x=-4时，y=7，
此时P1（4，53）、P2（-4，7）．
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，
∴由中点坐标公式，得点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3．
而且当x=2时y=-1，此时P3（2，-1），
综上，满足条件的P为P1（4，53）、P2（-4，7）、P3（2，-1）．