在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(

在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△A... 在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标. 展开
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(1)设此抛物线的函数解析式为:
y=ax 2 +bx+c(a≠0),
将A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点代入函数解析式得:
16a-4b+c=0
c=-4
4a+2b+c=0

解得
a=
1
2
b=1
c=-4

所以此函数解析式为:y=
1
2
x 2 +x-4


(2)∵M点的横坐标为m,且点M在这条抛物线上,
∴M点的坐标为:(m,
1
2
m 2 +m-4
),
∴S=S △AOM +S △OBM -S △AOB
=
1
2
×4×(-
1
2
m 2 -m+4)+
1
2
×4×(-m)-
1
2
×4×4
=-m 2 -2m+8-2m-8
=-m 2 -4m,
=-(m+2) 2 +4,
∵-4<m<0,
当m=-2时,S有最大值为:S=-4+8=4.
答:m=-2时S有最大值S=4.

(3)设P(x,
1
2
x 2 +x-4).
当OB为边时,根据平行四边形的性质知PB OQ,
∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值,
又∵直线的解析式为y=-x,
则Q(x,-x).
由PQ=OB,得|-x-(
1
2
x 2 +x-4)|=4,
解得x=0,-4,-2±2
5

x=0不合题意,舍去.
如图,当BO为对角线时,知A与P应该重合,OP=4.四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4,Q横坐标为4,代入y=-x得出Q为(4,-4).
由此可得Q(-4,4)或(-2+2
5
,2-2
5
)或(-2-2
5
,2+2
5
)或(4,-4).
ERCHUHCHGYJ
2018-03-29 · TA获得超过391个赞
知道答主
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【解析】
(1)根据抛物线与x轴的交点A与C坐标设出抛物线的解析式方程,将B坐标代入即可确定出解析式;
(2)过M作x轴垂线MN,三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积-三角形AOB面积,求出即可;
(3)根据题意设p(a,
1
2
a2+a-4),则Q(a,-a),分三种情况分别讨论即可求得.
【解答】
(1)设抛物线解析式为y=a(x+4)(x−2),
将B(0,−4)代入得:−4=−8a,即a=12,
则抛物线解析式为y=12(x+4)(x−2)=12x2+x−4;

(2)过M作MN⊥x轴,
将x=m代入抛物线得:y=12m2+m−4,即M(m,12m2+m−4),
∴MN=|12m2+m−4|=−12m2−m+4,ON=−m,
∵A(−4,0),B(0,−4),
∴OA=OB=4,
∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB−S△AOB=12×(4+m)×(−12m2−m+4)+12×(−m)×(−12m2−m+4+4)−12×4×4=2(−12m2−m+4)−2m−8=−m2−4m=−(m+2)2+4,
当m=−2时,S取得最大值,最大值为4;
(3)如果使以点P、Q、B. O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥AB),则PQ=OB,
设p(a,12a2+a−4),则Q(a,−a),如图,

①当点P在点Q上面时,则12a2+a−4−(−a)=4,
解得a=−2+25√或a=−2−25√,
∴Q1(−2+25√,2−25√),Q2(−2−25√,2+25√).
②当点Q在点P上面时,−a−(12a2+a−4)=4,
解得a=0或a=−4,
∴Q3(−4,4);
③当OB是对角线时,∵Q3(−4,4),∴P3(−4,0),
∴P4(4,0),
∴Q4(4,−4),
∴P、Q、B. O为顶点的四边形为平行四边形,相应的点Q的坐标为(−4,4)或(−2+25√,2−25√)或(−2−25√,2+25√),(4,−4).
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