Question

线性代数种向量组及其线性组合的一道证明题。求解啊~~~

已知R（α1.α2.α3）=2 R（α2.α3.α4）=3 证明：
（1）α1能由α2.α3线性表示
（2）α4不能由α1.α2.α3线性表示

Answer 1

因为 R（α2.α3.α4）=3
所以 α2.α3.α4 线性无关
所以 α2.α3 线性无关 (*)
又因为 R（α1.α2.α3）=2
所以 α1.α2.α3 线性相关 (**)
由 (*),(**) 知 α1能由α2.α3线性表示.

假如 α4能由α1.α2.α3线性表示
因为(1) α1能由α2.α3线性表示
所以 α4能由α2.α3线性表示
这与 α2.α3.α4 线性无关 矛盾.
所以 α4不能由α1.α2.α3线性表示

追问

谢谢老师

Answer 2

假设不能由2,3表示，则1与2或3线性无关，又1,2,3的rank为2，所以2与3相关，这样2,3,4rank=3矛盾
所以能表示
又rank1,2,3为2，所以2,3无关，所以2,3,4无关，所以4不能由2,3,表示，也即不能用1,2,3表示