Question

f(x)在x=0的领域内二阶可导，能推出f ' '(x)在x=0处连续吗？

Answer 1

不一定。
令g(x)定义如下：
g(x)= x²sin(1/x) 若 x≠0
g(x)=0 若 x=0

可以验证g(x)可导，但g'(x)在x=0不连续。
令f(x)=∫g(x)dx
则f''(x)=g'(x)
但f''(x)在=0处不连续

追问

我说的是在邻域内可导，不是在一点可导

追答

我给f(x)在x∈R都二阶可导。。。。，所以在任意领域都二阶可导。
请仔细验证。

追问

请问你的g ' (0)=?呢？你是用定义求g ' (0)的吗？我怎么用定义算，g ' (0)不存在呢

追答

g'(0)= lim x²sin(1/x)/x
=lim xsin(1/x)
=0
等于0的理由是，无穷小乘有界量。

追问

对不起 我说错了 应该问g(x)在x=0处二阶导数存在吗？

追答

g(x)不存在二阶导数。
但f(x)存在二阶导数，且二阶导数不连续。

追问

学长，在李永乐的那本2012年考研数学全书里有一道题目，“已知f(x)在x=0的邻域内二阶可导，且f'(0)=0,又（（1+x）^(1/3)-1）f ‘ ’ (x) - x f ' (x) = e^x - 1,……”解答中把那个已知的式子变下形得到f''(x)的表达式，求出limf''(x)(x->0)=3,然后说“又f '（x）在x=0连续，推出f''(0)=3”。您给帮我看看他这推理有没有问题

追答

没问题。f(x)二阶可导，说明f'(x)可导，则连续。
这是另一个问题，不要把不相干问题连续发问。

Answer 2

显然不一定，而且题目本身就是一个既不充分也不必要条件。你把课本先搞清楚，别一味做题，万变不离其宗。导数有很多性质，搞懂吃透，这些问题不难解决。