已知函数f(x)=(x+1)㏑x-x+1,证明（x-1)f(x)≧0
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问题等价于证明当0<x<=1时, f(x)<=0; 当x>1时, f(x)>=0.
事实上, f'(x)=lnx+(x+1)/x-1=lnx+1/x=(xlnx+1)/x>0 (这里注意到函数xlnx的最小值为e^{-1}lne^{-1}=-e^{-1}<1)
即f(x)单调增加
而f(0)=0, 所以当0<x<=1时, f(x)<f(0)=0; 当x>1时, f(x)>f(0)=0.
即(x-1)f(x)>=0
事实上, f'(x)=lnx+(x+1)/x-1=lnx+1/x=(xlnx+1)/x>0 (这里注意到函数xlnx的最小值为e^{-1}lne^{-1}=-e^{-1}<1)
即f(x)单调增加
而f(0)=0, 所以当0<x<=1时, f(x)<f(0)=0; 当x>1时, f(x)>f(0)=0.
即(x-1)f(x)>=0
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2024-10-13 广告
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