Question

已知F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，椭圆的离心率为1/3，...

已知F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，椭圆的离心率为1/3，以P为圆心，PF2长为半径做圆P，当圆P与x轴相切时，截y轴所得的弦长为(12根号55)/9
求证：无论点P在椭圆上如何运动，一定存在一个定圆与圆P相切，试求出这个定圆方程

Answer 1

1,因为离心率为1/3,所以设椭圆方程为:
x^2/(9k^2)+y^2/(8k^2)=1.
F2点坐标为(k,0).
因为P为椭圆上一点,且圆P与x轴相切,且圆P是以PF2为半径,
所以PF2垂直于x轴.
所以算出P点坐标为(k,8k/3)或(k,-8k/3).

当P点在x轴上方时,
圆P的方程为:(x-k)^2+(y-8k/3)^2=(8k/3)^2.
令x=0,解出y.
解得y1=8k/3+(k*根号55)/3,
y2=8k/3-(k*根号55)/3.
所以截距为2(k*根号55)/3=12*根号55/9,
解得k=2.
所以此时圆P的方程为:(x-2)^2+(y-16/3)^2=256/9.
椭圆方程为:x^2/36+y^2/32=1.

当P在x轴下方时,椭圆方程不变,
圆P的方程是:(x-2)^2+(y+16/3)^2=256/9.