Question

高三数列题

已知数列An满足：A1=A2=A3,A（n+1）=（A1A2A3……An）-1 n≥3 ，记B（n-2）=(A1)平方+A2平方+……+An平方-A1A2A3……An（n≥3）
（1）求证数列Bn为等差数列，并求其通项
（2）设Cn=1+1/（Bn平方）+1/（B（n+1）平方），数列√Cn
的前n项和为Sn，求证n＜Sn＜n+1
A1=A2=A3=2

Answer 1

解：（1）
B1=4;
B(n-1)=A1^2+A2^2+……+An^2+A(n+1)^2-A1A2A3……AnA(n+1)
=A1^2+A2^2+……+An^2+A(n+1)*(A(n+1)-A1A2A3……An)
=A1^2+A2^2+……+An^2-A(n+1)
=A1^2+A2^2+……+An^2-A1A2A3……An+1
=B(n-2)+1 n>=3
B(n)=n+3的等差数列；
（2）
√Cn=√[1+1/(n+3)^2+1/(n+4)^2]>1;
Sn>n;
√Cn-1=√[1+1/(n+3)^2+1/(n+4)^2]-1
=[1/(n+3)^2+1/(n+4)^2]/{√[1+1/(n+3)^2+1/(n+4)^2]+1}
<[1/(n+3)^2+1/(n+4)^2]/2
<1/(n+3)^2
<1/(n+2)(n+3)
=1/(n+2)-1/(n+3)
Sn<n+1/3-1/(n+3)<n+1;
综上所述：n<Sn<n+1

Answer 2

为了方便记A1A2A3……An=W;
那么B（n-1）-B（n-2）=A（n+1）平方-w*【A（n+1）-1】=（w-1）平方-w*（w-2）=1
n>=3
B1=4;BN=3+N;