Question

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45度．则有结论EF=BE+FD成立

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45度．则有结论EF=BE+FD成立；
（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．
（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．

Answer 1

（1）结论仍然成立．延长CB到G，使BG=FD，根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF= ∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，进一步得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立；
（2）结论不成立，应为EF=BE-DF，如图在CB上截取BG=FD，由于∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，可以得到∠B=∠ADF，再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF= ∠BAD，所以得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，再根据全等三角形的性质就可以证明EF=EG=EB-BG=EB-DF．解答：解：（1）延长CB到G，使BG=FD，
∵∠ABG=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．
（2）结论不成立，应为EF=BE-DF，
在CB上截取BG=FD，（如图）
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°
，∴∠B=∠ADF，
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠EAF=∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB-BG=EB-DF．

Answer 2

解：（1）延长CB到G，使BG=FD，
∵∠ABG=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．
（2）结论不成立，应为EF=BE-DF，
在CB上截取BG=FD，（如图）
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°
，∴∠B=∠ADF，
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠EAF=∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB-BG=EB-DF．

Answer 3

（1）结论仍然成立．延长CB到G，使BG=FD，根据已知条件容易证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF= ∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，进一步得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立；
（2）结论不成立，应为EF=BE-DF，如图在CB上截取BG=FD，由于∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，可以得到∠B=∠ADF，再利用已知条件可以证明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF= ∠BAD，所以得到∠EAF=∠GAE，现在可以证明△AEF≌△AEG，再根据全等三角形的性质就可以证明EF=EG=EB-BG=EB-DF．解答：解：（1）延长CB到G，使BG=FD，
∵∠ABG=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．
（2）结论不成立，应为EF=BE-DF，
在CB上截取BG=FD，（如图）
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°
，∴∠B=∠ADF，
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠EAF=∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB-BG=EB-DF．