Question

已知二次方程x^2-2ax+a+6=0的两个实数根为α、β,求(α-1)^2+(β-1)^2的最小值

Answer 1

α+β=2a，αβ=a+6
所以(α-1)^2+(β-1)^2
=α²-2α+1+β²-2β+1
=(α²+β²+2αβ)-2αβ-2(α+β)+2
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
=4a²-2(a+6)-2×2a+2
=4a²-6a-10
=（2a-3/2)²-49/4
另外判别式 (2a)²-4(a+6)>=0即 a>=3或a=<-2
所以a=-2时有最小值。至于是多少，自己计算。还有在过程中可能算错了，我也懒得再去检查。不过思路就是这样的

Answer 2

x^2-2ax+a+6=0的两个实数根为α、β,
根据韦达定理：
α+β= 2a
αβ= a+6

(α-1)^2+(β-1)^2
= α^2-2α+1+β^2-2β+1
= α^2+β^2-2α-2β+1+1
= (α+β)^2-2αβ-2(α+β)+2
= (2a)^2 - 2(a+6) - 2*2a + 2
= 4a^2 - 2a - 12 - 4a + 2
= 4a^2 - 6a - 10
= 4(a^2-3/2a) - 10
= 4(a-3/4)^2 - 9/4 - 10
= 4(a-3/4)^2 - 49/4 ≥ -49/4
最小值 -49/4

Answer 3

x^2-2ax+a+6=0要有两实根，则4a^2-4*(a+6)≥0，则4a^2-4a≥24
又α+β=2a,a*β=a+6。
y=(α-1)^2+(β-1)^2=(a+β)^2-2(a+β）+2-2αβ=4a^2-4a-10≥24-10=14。

Answer 4

α+β=2a
αβ=a+6
(α-1)^2+(β-1)^2
=α²+β²-2(α+β)+2
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
=4a²-2a-12-4a+2
=4a²-6a-10
=4(a²-3a/2+9/16)-49/4
=4(a-4/3)²-49/4
当a=4/3时有最小值-49/4

Answer 5

-13

追问

怎么做

追答

(α-1)^2+(β-1)^2
=α²-2α+1+β²-2β+1
=α²+β²-2(α+β)+2
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2

α+β=2a
αβ=a+6
代入就行