Question

已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.点G，H分别是AD，BC的中点，GH交BD于点O.试证明

已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.点G，H分别是AD，BC的中点，GH交BD于点O.试证明：GH，EF互相平分.

Answer 1

连结GB,DH,GH与BD交与O
因为四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD,AB=CD（平行四边形对边相等，平行）
点G，H分别是AD与BC的中点
所以GD=BH
∴∠ABD=∠BDC
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠DFC
在△AEB与△CFD中
∠AEB=∠DFC
∠ABD=∠BDC
AB=CD
∴三角形AEB≌△CFD（AAS)
∴BE=DF
因为四边形GBHD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴BO=OD,GO=GH（平行四边形对角线互相平分）
所以EF和GH互相平分

Answer 2

连结GB,DH,GH与BD交与O
因为四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD,AB=CD（平行四边形对边相等，平行）
点G，H分别是AD与BC的中点
所以GD=BH
∴∠ABD=∠BDC
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠DFC
在△AEB与△CFD中
∠AEB=∠DFC
∠ABD=∠BDC
AB=CD
∴三角形AEB≌△CFD（AAS)
∴BE=DF
因为四边形GBHD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴BO=OD,GO=GH（平行四边形对角线互相平分）
∴EF和GH互相平分
差不多了

Answer 3

连结GB,DH,GH与BD交与O
因为四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD,AB=CD（平行四边形对边相等，平行）
点G，H分别是AD与BC的中点
所以GD=BH
∴∠ABD=∠BDC
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠DFC
在△AEB与△CFD中
∠AEB=∠DFC
∠ABD=∠BDC
AB=CD
∴三角形AEB≌△CFD（AAS)
∴BE=DF
因为四边形GBHD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴BO=OD,GO=GH（平行四边形对角线互相平分）
所以EF和GH互相平分

Answer 4

连结GB,DH,GH与BD交与O
因为四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD,AB=CD（平行四边形对边相等，平行）
点G，H分别是AD与BC的中点
所以GD=BH
∴∠ABD=∠BDC
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠DFC
在△AEB与△CFD中
∠AEB=∠DFC
∠ABD=∠BDC
AB=CD
∴三角形AEB≌△CFD（AAS)
∴BE=DF
因为四边形GBHD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴BO=OD,GO=GH（平行四边形对角线互相平分）
所以EF和GH互相平分

Answer 5

连接GB,DH,GH与BD交与O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD,AB=CD
又∵点G，H分别是AD与BC的中点
∴GD=BH
∴∠ABD=∠BDC
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AEB=∠DFC
在△AEB与△CFD中
∠AEB=∠DFC
∠ABD=∠BDC
AB=CD
∴三角形AEB≌△CFD（AAS)
∴BE=DF
∵四边形GBHD是平行四边形
∴BO=OD,GO=GH
∴EF和GH互相平分