Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E,F同时由A,B出发，分别沿AC，BA方向向点C,B移动，

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E,F同时由A,B出发，分别沿AC，BA方向向点C,B移动，点E的速度是2cm/s，点F的速度是1cm/s，若其中一点到达位置则两点都停止移动。
（1）经过几秒，△AEF的面积为16/5
（2）经过几秒，EF平分Rt三角形ABC的周长？
（3）是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的长，若不存在，说明理由。
真的不会写这题。老师多指教

Answer 1

F是怎么移动的？你说沿着BA方向，却说向B移动，请问究竟是向A还是向B移动啊？
看出来了，你前面说了F从B出发，应该是后面“向B移动”说错了。
解答：
t秒后，AE=2t, AF=10-t, t<=3
AE+AF=10+t,
S△AEF=1/2 * AF * AE * sinA = t*(10-t)*4/5
第一问，t*(10-t)*4/5 = 16/5 因为0<=t<=3，所以 t = 5 - 根号(21)
第二问，AE+AF=10+t = 12，t=2
第三问，因为只有t=2才能平分周长，所以只需验证t=2时是否平分面积。
t=2时，面积S△AEF = t*(10-t)*4/5 = 64 / 5 不是直角三角形面积的一半。
——
依我看，第三问的题目可能是错的。应该改成
“是否存在线段PQ，其中P在AC上，Q在AB上，满足同时平分直角三角形面积和周长？”
这样，就取消了原来题目中E和F之间的关联，扩大了考察范围。
假设存在这样的PQ，AP=p，AQ=q，则
p+q=12
p*q=1/2 * AC * AB = 30
解得 p = 6 - 根号(6) ，大于6的p不符合条件，已经舍去。

追问

嗯。。那个F应该是从B出发 沿BA向A移动才对的
t秒后，AE=2t, AF=10-t, t<=3
AE+AF=10+t,
S△AEF=1/2 * AF * AE * sinA = t*(10-t)*4/5
这个我看不懂 sin是什么意思 我还没学三角函数

追答

没学？那你自己画垂线吧……画了垂线，用勾股定理一样能算的，我就不细说了。