Question

关于线性代数的一系列问题： 1、n阶矩阵的n个特征值相加为什么等于主对角线上的元素之和 2、n个特征值相乘

关于线性代数的一系列问题：
1、n阶矩阵的n个特征值相加为什么等于主对角线上的元素之和
2、n个特征值相乘为什么等于矩阵所对应的行列式的值
3、同济第四版线性代数再讲到非齐次线性方程AX=B的解时有两条性质
性质1 x=a1及x=a2都是AX=B的解，则x=a1—a2是对应
的齐次线性方程的解
性质2 设x=a3是AX=B的解，x=a4是对应齐次线性方程组的解，那么x=a3+a4任然是非齐次线性方程的解
问题来了，书上说，由性质3可知，若求得AX=B的一个解x=a5，则AX=B的任意解可表示为x=a5+a6，其中a6是对应的齐次线性方程组的解，这个我不明白这个为什么是由性质3得到的，他们之间好像没有逻辑关系啊？
4 为什么n阶对称矩阵必有正交阵p使得p的逆乘以A再乘以P等于B
以上疑问有些书上没做要求，但个人觉得学东西要知其所以然，所以向大家求教，望大家赐教

Answer 1

第一个问题和第二个问题一起回答吧
矩阵的特征值就是矩阵所对应的特征多项式的根。|mI-A|=0，求得的m值即为A的特征值。由根与系数的关系我们可以知道，特征值的和就等于多项式的根的和，就是第n-1次项的系数，是a11+a22+`````+ann，特征值的积就是多项式的根的积，就是第0次项的系数，是a11*a22*......*ann。

这个书上一般都有证明的！

第三个问题就是性质1的推论，或者说是反问题。你说的性质3是什么啊？
你记住这个就行了，两个特解相减就是通解，一个特解加上一个通解还是一个特解。

第四个问题，如果A是一个n阶的实对称矩阵，则必存在正交阵p，使得Ap=pB.这叫矩阵的合同。这个是因为对称矩阵一定是可以正交对角化的。

祝你学习愉快！

Answer 2

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