如图，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上一点P，∠APM=∠CPM，证AB与CD关系。
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证明：分别作AB.CD的中点E.F，连结OE.OF
则由圆的性质可知：
OE⊥AB，OF⊥CD
因为∠APM=∠CPM，且∠APM=∠OPB，∠CPM=∠OPD
所以∠OPD=∠OPB
又OP是Rt△OPE与Rt△OPF的公共边
所以Rt△OPE≌Rt△OPF （AAS）
则OE=OF
在Rt△OEB与Rt△OFD中，由勾股定理分别得：
OB²=OE²+BE²
OD²=OF²+FD²
因为半径OB=OD，且由上OE=OF
所以BE=FD
因为AB=2BE，CD=2FD
所以AB=CD
则由圆的性质可知：
OE⊥AB，OF⊥CD
因为∠APM=∠CPM，且∠APM=∠OPB，∠CPM=∠OPD
所以∠OPD=∠OPB
又OP是Rt△OPE与Rt△OPF的公共边
所以Rt△OPE≌Rt△OPF （AAS）
则OE=OF
在Rt△OEB与Rt△OFD中，由勾股定理分别得：
OB²=OE²+BE²
OD²=OF²+FD²
因为半径OB=OD，且由上OE=OF
所以BE=FD
因为AB=2BE，CD=2FD
所以AB=CD
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