Question

如图,△ABC内接于半圆O,AB为直径,过点A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，AE＝4,DE＝8，求EF

Answer 1

1、∵MN⊥AB，
∴<MAC+<CAB=90°
∵AB是半圆直径，
∴<ACB=90°
∴<CAB+<ABC=90°,
∵<ABC=<MAC,(已知），
∴〈MAC+〈CAB=90°，
∴MN是半圆的切线。
2、∵D是弧AC的中点，
∴BD是<CBA的平分线，
<CBD=<DBA,
<CGB=90°-<CBA,
∵<DGF=<CGB(对顶角相等），
∴<DGF=90°-<CBD，
∵DE⊥AB，
∴<GDF=90°-<DBE，
∴<EDG=<DGF,
∴△FDG是等腰△，
∴FD=FG。
3、作FP⊥DG，
S△FDG=9/2，
DG=3，
S△FDG=DG*FP/2，
FP=3，
∵<PGF=<CGB（对顶角相等），
<BCG=<GPE=90°
∴△BGC∽△FGP，
FP/BC=PG/CG，PG=DG/2=3/2，
3/BC=（3/2）/4，
BC=8，
∴S△BGC=BC*CG/2=8*4/2=16。

第二种方法（更对一些我觉得这个）
（1）∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴∠CBA+∠BAC=90°，
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
即∠BAM=90°，
∴OA⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）连接OD交AC于H，
∵D是AC中点，
∴OD⊥AC，AH= AC，
∵∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，
∴△OAH≌△ODE，
∴DE=AH= AC；
（3）连接AD，
由（2）知△OAH≌△ODE，
∴∠ODE=∠OAH，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA-ODE=∠OAD-∠OAH，
即∠FDA=∠FAD，
∴FD=FA，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠FDA+∠GDF=90°，∠DAF+∠DGF=90°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴FG=DF，
∴FG=FA=FD，
∴S△DGF= S△ADG，
又∵△BCG∽△ADG，
∴S△BCG：S△ADG=（ ）2=（ ）2，
∴S△BCG= ．

Answer 2

1、∵MN⊥AB，
∴<MAC+<CAB=90°
∵AB是半圆直径，
∴<ACB=90°
∴<CAB+<ABC=90°,
∵<ABC=<MAC,(已知），
∴〈MAC+〈CAB=90°，
∴MN是半圆的切线。
2、∵D是弧AC的中点，
∴BD是<CBA的平分线，
<CBD=<DBA,
<CGB=90°-<CBA,
∵<DGF=<CGB(对顶角相等），
∴<DGF=90°-<CBD，
∵DE⊥AB，
∴<GDF=90°-<DBE，
∴<EDG=<DGF,
∴△FDG是等腰△，
∴FD=FG。
3、作FP⊥DG，
S△FDG=9/2，
DG=3，
S△FDG=DG*FP/2，
FP=3，
∵<PGF=<CGB（对顶角相等），
<BCG=<GPE=90°
∴△BGC∽△FGP，
FP/BC=PG/CG，PG=DG/2=3/2，
3/BC=（3/2）/4，
BC=8，
∴S△BGC=BC*CG/2=8*4/2=16

Answer 3

作FP⊥DG，
S△FDG=9/2，
DG=3，
S△FDG=DG*FP/2，
FP=3，
∵<PGF=<CGB（对顶角相等），
<BCG=<GPE=90°
∴△BGC∽△FGP，
FP/BC=PG/CG，PG=DG/2=3/2，
3/BC=（3/2）/4，
BC=8，
∴S△BGC=BC*CG/2=8*4/2=16。