Question

如图所示,圆O为△ABC的外接圆,且AB=AC,过点A的直线

如图，圆O为三角形ABC的外接圆。且AB=AC，过点A的直线AF交圆O于点D，交BC延长线于点F，DE是BD的延长线，连接CD
(1)求证：∠EDF=∠CDF
(2)求证：AB²=AF·AD
(3)若BD正好是圆O的直径，且∠EDC=120°,BC=6cm，求AF的长

Answer 1

(1)
∠EDF
=∠ADB。。对顶角相等
=∠ACB。。同一圆弧所对的圆周角相等
=∠ABC。。由AB=AC所得
=∠ABD+∠DBC
=∠ACD+∠DAC。。同一圆弧所对的圆周角相等
=∠CDF。。三角形ACD的外角

(2)
∠ADB=∠ABF。。(1)中已证
∠BAD=∠FAB
所以△ADB∽△ABF
所以AD/AB=AB/AF
即AB^2=AF*AD

(3)
∠EDF=∠EDC/2=60°
所以∠ACB=∠EDF=60°。。(1)中已证
所以△ABC是等边三角形
AB=6，BD=2R=AB/sin(∠ACB)=4(3)^0.5
AD=(BD^2-AB^2)^0.5=2(3)^0.5
AF=AB^2/AD。。(2)中已证
=6(3)^0.5