Question

已知：在三角形ABC中，以AC边为直径的圆o交BC于点D，在劣弧AD上取一点E使角EBC=角DEC,YANCHANG 呗依次交AC

于G,交圆O于H.(1)求证：AC垂直于BH.(2)若角ABC=45，圆O的直径=10，BD=8求CE=多少

Answer 1

证明：（1）连接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BH；
（2）∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵BD=8，∴AD=8，
在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，
根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，
∵∠EBC=∠DEC，∠C公共角，
∴△BCE∽△ECD，
∴ BCCE=CECD，即CE2=BC•CD=14×6=84，
∴CE= 84=2 21．

Answer 2

1）连接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BH；
（2）∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵BD=8，∴AD=8，
在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，
根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，
∵∠EBC=∠DEC，∠C公共角，
∴△BCE∽△ECD，
∴ BCCE=CECD，即CE2=BC•CD=14×6=84，
∴CE= 84=2 21．
或
1）连接AD，交BG于M
则AD⊥BC （AC是⊙O的直径）
以及∠DAC=∠DEC（等弧对等角）
∴△MBD为RT△
又∵∠EBC=∠DEC
∴∠DAC=∠EBC
因此，在△MBD和△MAG中
∠DAC=∠EBC ∠M公共
∴△MBD∽△MAG
∴△MAG也为RT△
∴AG⊥GM，即AC⊥BH；
2）
∵AD⊥BC ∠ABC=45°，
∴∠BAD也=45°，
∴BD=AD=8，
在RTADC中，AC=10，AD=8，
根据勾股定理3：4：5 ∴DC=6
∴BC=BD+DC=14，
在∴△BCE和△ECD中：
∵∠EBC=∠DEC，∠C公共角，
∴△BCE∽△ECD，
∴ BC/CE=CE/CD，即CE² =BC•CD=14×6=84，
∴CE= √84=2 √21=9.16

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Answer 3

证明：（1）连接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BH；
（2）∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵BD=8，∴AD=8，
在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，
根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，
∵∠EBC=∠DEC，∠C公共角，
∴△BCE∽△ECD，
∴ BCCE=CECD，即CE2=BC•CD=14×6=84，
∴CE= 84=2 21．

Answer 4

证明：（1）连接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BH；
（2）∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵BD=8，∴AD=8，
在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，
根据勾股定理得：DC=6，则BC=BD+DC=14，
∵∠EBC=∠DEC，∠C公共角，
∴△BCE∽△ECD，
∴ ，即CE2=BC•CD=14×6=84，
∴CE= =2 ．

Answer 5

连接AD那么因为AC为直径，那么直径所对应的∠ADC就为90°，∠ABC=45°，所以三角形ABD为等腰RT三角形，BD=AD=45°，那么勾股得DC=6，因为∠DEC=∠EBC，公共一∠ECB，那么∠ECB∽∠DCE,那么DC:EC=EC:BC，BC=6+8=14，DC=6，EC^2=BC*DC,所以EC=2倍根号21