数列 错位相减，还有构造法怎么做呀？？？
LZ您好
错位相减可以参考等比数列一章,对于等比数列前n项和的推导
实际应用中
形如a[n]=A[n]*B[n]的数列都可以错位相减(其中A[n]为等差数列,B[n]为公比非±1的等比数列)
例如a[n]=2n* (3)^n,求S[n]
S[n]=2*3 + 2X2 *3² + 2X3 *3³ +... + 2n*3^n ---(1)
3S[n]=2*3² + 2X2 *3³ +... + 2(n-1) *3^n + 2n*3^(n+1) ---(2)*
(2)-(1)
2S[n]=-6 - 2X3² - 2X3³ -... - 2X3^n +2n*3^(n+1)
注意到2X3^n,可以视为以-6为首项,3为公比的等比数列
2S[n]= -6(1- 3^n)/(1-3) + 2n*3^(n+1)
2S[n]=3- 3^(n+1) +2n*3^(n+1)
S[n]=3/2 +(2n-1)/2*3^(n+1)
*:注意这里,这里也可以选择乘以1/3,实际上如果等比数列公比是q,可以选择的错位相减这一步可以乘以q,也可以乘以1/q,一般以消灭分数作为最简原则,譬如q=1/5,那我就选择乘以5
构造法则是针对形如a[n]=ka[n-1]+b的形式
其中,k=1时这个是等差
b=0,k≠0时这个是等比
那么k,b与n无关的常数时...
例如a[n]=2a[n-1]+4 ---(1)
设a[n]+T = 2(a[n-1] +T)
a[n]=2a[n-1] +T ----(2)
(2)与(1)比较T=4
所以原来的递推公式变为了
a[n]+4 = 2 (a[n-1]+4)
请验证a[1]+4≠0, 之后就可以说"数列{a[n]+4},除开第一项,一定是一个公比为2的等比数列".之所以a[1]+4不一定是等比,还要进一步验证,是因为用到了a[n-1],如果递推是n+1与n的关系,则a[1]+4必然符合等比
如果b=an+c,则构造时构造出的是 a[n]+xn+y =k(a[n-1] +x(n-1) +y)
可以写在草稿纸 我看看吗
