Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，

在DE的延长线上取一点F，使AF=CE，求证：四边形ACEF是平行四边形。

Answer 1

证明：E为AB中点
我们知道CE=AE=BE
因为ED⊥BC
所以DE//AC
因为AF=CE
所以AF=AE
所以∠AEF=∠F
因为DE//AC
所以∠AEF=∠CAE
因为∠CAE=∠ACE
所以∠ACE=∠F(1)
∠CAE=∠AEF(2)
CE=AF(3)
所以△CAE≌△FEA
所以∠EAF=∠AEC
所以AF//CE
因为AF=CE
所以四边形ACEF是平行四边形

Answer 2

在△ABC中,∠ACB=90°,点E为AB的中点,∴CE=BE=AE∴∠ECB＝∠EBC
∵AF=CE=BE ∴∠AFE＝∠AEF
∵∠AEF=∠BED=90°-∠B
∠BAC＝90°-∠B
∴∠AEF=∠BAC ∴∠F＝∠ACE
∵AE＝AE ∴⊿AEC≌⊿AEB ∴EF=BC
由已知，EF‖BC
∴四边形ACEF是平行四边形
祝你开心！

Answer 3

证明:∠ACB=90°,E为AB中点,则CE=AB/2=AE;又AF=CE.
则CE=AE=AF,∠ECA=∠EAC;∠AEF=∠AFE.
∠EDB=∠ACB=90度,则:AC平行DE,∠AEF=∠EAC.
所以,∠EAF=∠AEC,AF平行CE.
故四边形ACEF是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

Answer 4

解：过点A作AH⊥DF,垂足为点D
∵AH⊥DF，ED⊥BC
∴∠AHD=∠CDH=∠AHF=90°
∴△AHF与△CDE均为直角三角形
又∵∠ACB=90°
∴四边形ACDH是矩形
∴AH=CD,AC=DH
∴在Rt△AHF与Rt△CDE中
﹛AF=CE, AH=CD﹜
∴Rt△AHF≌Rt△CDE(H.L.)
∴HF=DE
∴FH+HE=ED+HE即EF=DH
∴EF=AC
又∵AF=CE
∴四边形ACEF是平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形）
注：Rt△即为直角三角形

Answer 5

由已知：直角三角形ABC中，AE=BE=CE（直角三角形斜边中线=斜边的一半）
又ED⊥BC于点D，则ED//AC
在DE的延长线上取一点F，使AF=CE，
可证：三角形AEC全等于三角形AEF
则：四边形ACEF是平行四边形