Question

已知三次函数f(x)=2ax^3+3bx^2+cx.(1).若a=1,f(x)的图像与x轴切于原点,且f(x)的极

已知三次函数f(x)=2ax^3+3bx^2+cx.(1).若a=1,f(x)的图像与x轴切于原点,且f(x)的极小值为-8,求b,c的值.(2).若f(x)在R上是增函数,且b＞a,求6a+6d+c的最小值.

Answer 1

1）f(x)=2x^3+3bx^2+cx
f'(x)=6x^2+6bx+c
,f(x)的图像与x轴切于原点,且f(x)的极小值为-8,说明相切于原点的为极大值点，另一个极小值点为-8，因此有：f'(0)=c=0,
f'(x)=6x^2+6bx=6x(x+b), 极小值点为-b, f(-b)=-2b^3+3b^3=b^3=-8, 得b=-2
故f(x)=2x^3-6x^2
2)f'(x)=6ax^2+6bx+c=6a[x+b/(2a)]^2+c-3b^2/(2a)
f(x)在R上是增函数,,且b＞a,,表明a>0, f'(x)恒为非负
因此c-3b^2/(2a)>=0, c最小为 3b^2/(2a)，f'(1)=6a+6b+c
f'(x)的对称轴为x=-b/(2a)<0,
令b=at, 其中t>1
6a+6b+c>=6a+6at+3at^2/2=6a(1+t/2)^2>6a(3/2)^2=27a/2
所以6a+6b+c最小值即为27a/2,
若a=1,，则最小值为 27/2

追问

第二问的答案是18.它的解析过程是f'(x)=6ax^2+6bx+c≥0对于x∈R恒成立,则a＞0,△=36b^2-24ac≤0，得到c≥3b^2/2a,又b＞a,所以b-a＞0.∴6a+6b+c/b-a≥3（2a+b）^2/2a(b-a)=9(2a+b)^2/2*(2a+b/2)^2≥18,当且仅当b=4a,c=24a是取“＝” 我就是最后这步中的6a+6b+c/b-a≥3（2a+b）^2/2a(b-a)=9(2a+b)^2/2*(2a+b/2)^2≥18 怎么由3（2a+b）^2/2a(b-a)→9(2a+b)^2/2*(2a+b/2)^2的不懂,如果高手看懂的话,告诉我下,加分！！！！！！

追答

求6a+6b+c/b-a ？

追问

求6a+6b+c/b-a 的最小值 解析最后几步看一下,谢谢了 ^-^

追答

唉，你要加个括号呀。
因此c-3b^2/(2a)>=0, c最小为 3b^2/(2a)，令b=at, t>1, c>=3t^2a/2
(6a+6b+c)/(b-a)>= (6+6t+3t^2/2)/(t-1)=6(1+t+t^2/4)/(t-1)=6(1+t/2)^2/(t-1)
再令t-1=p, 则上式=6[1+(p+1)/2]^2/p=1.5(3+p)^2/p=1.5(p+9/p+6)>=1.5[2√(p*9/p)+6]=1.5*12=18
最后主要是利用了均值不等式：pq>=2√pq

追问

c≥3b^2/2a,(6a+6b+c)/(b-a)≥[3(2a+b)^2]/[2a(b-a)]=[9(2a+b)^2]/[2*(2a+b/2)^2]≥18 这几步的推导怎么理解?谢谢

追答

你参照我上面写的，将分母b-a设为一个参数，这样好理解得多了。

Answer 2

1)若a=1,f(x)的图像与x轴切于原点,且f(x)的极小值为-8,
对f求导：f‘=6ax^2+6bx+c
x轴切于原点所以f'(0)=o 所以c=0
f‘=6ax^2+6bx+c=6x^2+6bx=6x(x+b)=0
x1=0 x2=-b
f(x)的极小值为-8,
所以f(-b)=-8 所以b^3=-8 b=-2
2)若f(x)在R上是增函数
所以f‘=6ax^2+6bx+c
在r上恒大于等于0
分析只有当a>0时，f‘在r上恒大于等于0才有可以成立；原因：当a<=0时，f‘在r上有最大值，不可能在f(x)在R上是增函数，可以画草图自己看看
所以b＞a>0
f‘=6ax^2+6bx+c的最小值为c - (3*b^2)/(2*a)>=0所以c >=(3*b^2)/(2*a)
6a+6b+c的最小值
=6a+6b+(3*b^2)/(2*a)

Answer 3

利用求导公式来算。一阶导数出极小值或极大值，二阶导数可到函数的单调性。根据这些加上条件去计算