Question

简单的极限题。。。

利用等价无穷小的性质，求下列极限。1.lim〔（sinx^n）〕/（tanx）^m 2.lim（tanx-sinx） /sin^3（x） 两者都是x→0

Answer 1

1.lim（x→0）〔（sinx^n）〕/（tanx）^m（运用等价无穷小代换）
=lim（x→0）x^n/x^m
=lim（x→0）x^(n-m)
若n>m则极限为0
若n=m则极限为1
若n<m则极限未知

lim（x→0）（tanx-sinx） /sin^3（x）（运用等价无穷小代换）
=lim（x→0）（tanx-sinx）/x^3 (这是0/0型，运用洛必达法则）
=lim（x→0）（sec^2x-cosx）/(3x^2)
=lim（x→0）（1/cos^2x-cosx）/(3x^2)
=lim（x→0）（1-cos^3x）/(3cos^2x*x^2)
=lim（x→0）（1-cos^3x）/(3x^2) (这是0/0型，运用洛必达法则）
=lim（x→0）（3cos^2xsinx）/(6x)
=1/2

Answer 2

1.lim(x→0) sin(x^n) / (tanx)^m = lim(x→0) x^n / x^m
若n>m 则极限为0; 若n=m 则极限为1; 若n<m 则极限 = ∞
2. lim(x→0)（(anx-sinx) /sin³x = lim(x→0) (tanx-sinx) / x³
= lim(x→0) tanx( 1 - cosx) / x³ 1 - cosx ~ x²/2
= lim(x→0) x * x²/2 / x³
= 1/2