Question

已知椭圆方程为x^2/2+y^2=1,一过定点（2,0）的直线交椭圆于A、B两点，P为椭圆上一动点。

若AB＜2根号5/3且向量OA+向量OB=t向量OP（O为坐标原点）求实数t的取值范围。

Answer 1

设直线方程为y=k（x-2），A,B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），点P（x，y）
联立得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0，
△＞0,即（8k²）²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，得k²＜1/2
由|AB|＜（2/3）根号5，即[根号（1+k²）]根号[（x1+x2）²-4x1x2]＜（2/3）根号5
其中x1+x2=8k²/（2k²+1），x1x2=（8k²-2）/（2k²+1）
化简得56k^4+38k²-13＞0，因式分解为（14k²+13）（4k²-1）＞0
得k²＞1/4
于是1/4＜k²＜1/2
向量OA+OB=（x1+x2，y1+y2）=OP=（tx，ty）
于是x=（x1+x2）/t，y=（y1+y2）/t【其中x1+x2=8k²/（2k²+1），y1+y2=-4k/（2k²+1）]
因为点P在椭圆上，于是x²/2+y²=1
所以[8k²/t（2k²+1）]²/2+[-4k/t（2k²+1）]²=1
化简得t²=16k²/（2k²+1）=16/[2+（1/k²）]
显然是关于k²的增函数
于是8/3＜t²＜8
得（2/3）根号6＜t＜2根号2，或-2根号2＜t＜-（2/3）根号6