Question

已知椭圆x^2/2+y^2/1=1的左右焦点分别为F1,F2，若过点P(0，-2)及F1的直线交椭圆于A,B两点，求三角形ABF2

这个面积是怎么个求法？请给说一下解题的步骤。不太会？

Answer 1

已知椭圆x²/2+y²=1的左右焦点分别为F₁，F₂，若过点P(0，-2)及F₁的直线交椭圆于A,B两点，求三角形ABF₂的面积。
解：a²=2，b²=1，c²=a²-b²=1，故c=1；F₁(-1，0)；F₂(1，0)，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；
过P和F₁的直线的斜率k=-2，故其方程为y=-2x-2，即x=-(y+2)/2，代入椭圆方程得：
(y+2)²/8+y²=1，即有9y²+4y-4=0，故︱y₁-y₂︱=√(y₁-y₂)²=√[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]
其中y₁+y₂=-4/9；y₁y₂=-4/9；代入上式得：
︱y₁-y₂︱=√[(16/81)+16/9]=√(160/81)=(4/9)√10
故△ABF₂的面积S=(1/2)×︱F₁F₂︱︱y₁-y₂︱=(1/2)×2c×(4/9)√10=(4/9)√10

Answer 2

用P点和F1点把这条直线求出来
然后联立直线和椭圆方程
求出两点坐标
在把AB和F2连起来就可以算了

Answer 3

F1(-1,0)
PF1: x/(-1)+y/(-2)=1
结合 x^2/2+y^2/1=1
x1=-8/9+(1/9)√10,y1=-2/9-(2/9)√10
x2=-8/9-(1/9)√10,y2=-2/9+(2/9)√10
S=(1/2)|x1-x2||y1|+(1/2)|x1-x2||y2|
=(1/2)(2/9)√10*(-2/9+(2/9)√10+2/9+(2/9)√10)
=(1/2)(2/9)√10*(4/9)√10
=40/81