Question

已知a、b是整数,且满足a-b是质数,ab是完全平方数,若a≥2011,求a的最小值

已知a、b是整数,且满足a-b是质数,ab是完全平方数,若a≥2011,求a的最小值

Answer 1

a-b=p(质数)，由辗转相除法的原理可得出结论：要么p是a，b的公约数，要么a，b互质。
如果p是a，b的公约数：令b=np,则a=b+p=(n+1)p,ab=n(n+1)p^2，n(n+1)不可能是完全平方数
如果a，b互质:由ab是完全平方数，可知，a和b都是完全平方数，令a是m的平方，b是n的平方，则a-b=m^2-n^2=(m+n)(m-n),a-b是质数，所以m-n=1，m+n=p，sqrt(2011)>44,而45+44=89是一个素数，所以，a最小是45^2=2025，b只能是44^2=1936

Answer 2

因为a^2-ab=(a-b)*a又因为ab 是完全平方数，a-b是质数
所以可以认为a^2-ab=(a-b)*a是平方数-平方数=质数*a
下面进行奇偶分析，设a为奇数，a^2为奇数，又a-b是质数，亦是奇数或者2，若为2，则ab为奇数，所以a,b都为奇数，a-b不可能等于2的，所以不对，若a-b为奇数，ab必为偶数，所以b为偶数，又a奇数，ab为平方数，所以a,b都为平方数
同理，设a为偶数，进行上述类似讨论，也得出a,b都为平方数
设a=n*2,b=m^2,a-b=(n+m)(n-m),a-b为质数，所以n-m等于1，因为a大于等于2011，最接近2011的平方数是2025，即n=45的平方，又45+44=89，89为质数，所以a为n^2=2025,b为(n-1)^2=44^2=1936

Answer 3

a=2017
设ab=p^2,a-b=n;（a-b)^2+4ab=(a+b)^2;n^2+4p^2=(a+b)^2。设a+b=c则n^2+4p^2=c^2。
n^2=(c-2p)(c+2p)。因为n是质数,所以2c=n+n or n^2+1。
c=n时，a=n 所以a=2017,b=0
2c=n^2+1时，因为2a=c+n,所以4a=(n+1)^2 。因为a大于2012,所以n至少为89,此时a=2025。
综上，a=2017
个人意见，仅供参考。

Answer 4

为什么不可以是：a=2011,b=0呢

Answer 5

a2025，b4