球心不在原点的三重积分如何用球面坐标系计算？
东莞大凡
2024-08-07 广告
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这类题应该这样作变换！
解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,π>sinφdφ∫<0,1>[(rsinθcosφ)^2
+(rsinθsinφ)^2+(1+rcosφ)^2]r^2dr
(作变换：x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=1+rcosφ)
=∫<0,2π>dθ∫<0,π>sinφdφ∫<0,1>(r^4+2r^3cosφ+r^2)dr
=2π∫<0,π>(8/15+cosφ/2)sinφdφ
=2π(16/15)
=32π/15。
解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,π>sinφdφ∫<0,1>[(rsinθcosφ)^2
+(rsinθsinφ)^2+(1+rcosφ)^2]r^2dr
(作变换：x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=1+rcosφ)
=∫<0,2π>dθ∫<0,π>sinφdφ∫<0,1>(r^4+2r^3cosφ+r^2)dr
=2π∫<0,π>(8/15+cosφ/2)sinφdφ
=2π(16/15)
=32π/15。
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球坐标变换里面x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ，里面r指的是曲面上的点到原点的距离，不是解析几何里面的半径。
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球面坐标系
x=rsinφcosθ
y=rsinφsinθ
z=rcosφ
带入原方程得，r2=rcosφ，即r=cosφ
x=rsinφcosθ
y=rsinφsinθ
z=rcosφ
带入原方程得，r2=rcosφ，即r=cosφ
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