Question

设随机变量x~E(1),求（Y=x的平方）的概率密度

Answer 1

已知X服从参数为1的指数分布，即它的概率密度为
p(x)= e^(-x) x≥0
0 x<0
因为Y=X²，所以先求出Y的分布函数如下
1. 当y<0时，有F(y)=P(Y≤y)=0
2. 当y≥0时，有F(y)=P(Y≤y)=P(X²≤y)
=P(-√y≤X≤√y)
=∫[-√y, √y] p(x)dx
=∫[0, √y] e^(-x)dx
=1-e^(-√y)
所以Y的分布函数为
F(y)= 0 y<0
1-e^(-√y) y≥0
由于密度函数是分布函数的导函数，所以对上面的函数求导以后可得Y的密度函数为
P(y)=0 y<0
e^(-√y)/(2√y) y≥0
其中∫[-√y, √y] p(x)dx表示在-√y到√y上面对p(x)的积分

Answer 2

先找出Y的分布函数与X的分布函数之间的关系，再求导得出概率密度之间的关系。

下图的计算过程请你参考。