Question

行列式 x -1 0..... 0 0 0 x -1..... 0 0 ................... 0 0 0.... x -1 a0 a1 a2..an-1 an

求值！求过程！！！谢谢了！
[x -1 0..... 0 0][ 0 x -1..... 0 0]...................[0 0 0.... x -1] [a0 a1 a2..an-1 an]这是n+1阶行列式

Answer 1

行列式中，当1<=i<=n时，第i行不为零的项只有bii=x,bii+1=-1。

当第i行取bii+1时，第i+1行只有取bi+1i+2时不为零。

当第i行取bii时，第i-1行只有取bi-1i-1时不为零。

又bn+1i=ai-1;当取bn+1j(1<=j<=n+1)时。

第j-1行只有取bj-1j-1=x不为零。

第j行只有取bjj+1=-1不为零。

所以1<=i<j<=n+1时，取bii=x；1<=j<i<=n时，取bii+1=-1。

行列式det(bij)=求和（-1）n-i+1(x)i-1(ai-1)(-1)n-i+1=求和(x)i-1ai-1。

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 

⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

Answer 2

解: 作变换
c1+xc2+x^2c3+...+x^ncn+1
行列式等于
0 -1 0 ... 0 0
0 x -1 ... 0 0
...... ...... ......
0 0 0 ... x -1
a0+a1x+a2x^2+...+anx^n a1 a2 .. an-1 an

按第1列展开, 行列式 = (a0+a1x+a2x^2+...+anx^n)*(-1)^(n+1+1)*
-1 0 ... 0 0
x -1 ... 0 0
......
0 0 ... x -1

= (a0+a1x+a2x^2+...+anx^n)*(-1)^(n+1+1)*(-1)^n
= a0+a1x+a2x^2+...+anx^n.

Answer 3

作变换
c1+xc2+x^2c3+...+x^ncn+1
行列式等于
0 -1 0 ... 0 0
0 x -1 ... 0 0
...... ...... ......
0 0 0 ... x -1
a0+a1x+a2x^2+...+anx^n a1 a2 .. an-1 an

按第1列展开, 行列式 = (a0+a1x+a2x^2+...+anx^n)*(-1)^(n+1+1)*
-1 0 ... 0 0
x -1 ... 0 0
......
0 0 ... x -1

= (a0+a1x+a2x^2+...+anx^n)*(-1)^(n+1+1)*(-1)^n
= a0+a1x+a2x^2+...+anx^n.
主要是先化成三角矩阵

Answer 4

行列式中，当1<=i<=n时，第i行不为零的项只有bii=x,bii+1=-1;
当第i行取bii+1时，第i+1行只有取bi+1i+2时不为零；
当第i行取bii时，第i-1行只有取bi-1i-1时不为零；
又bn+1i=ai-1;当取bn+1j(1<=j<=n+1)时，
第j-1行只有取bj-1j-1=x不为零；
第j行只有取bjj+1=-1不为零；
所以1<=i<j<=n+1时，取bii=x；1<=j<i<=n时，取bii+1=-1；
行列式det(bij)=求和（-1）n-i+1(x)i-1(ai-1)(-1)n-i+1=求和(x)i-1ai-1