Question

1、求lim（n-无穷）（1+2^n+3^n）1/n （1/n是开n次方） 2、证明Xn=sin1/2+sin2/2^2+...+sinn/2^n极限存在

Answer 1

1.没看明白
2.当n＞m时，|Xn-Xm|=sin（m+1）/2^(m+1)+sin(m+2)/2^(m+2)+……+sinn/2^n≤1/2^(m+1)+1/2^(m+2)+……+1/2^n=1/2^m（1-1/2^(n-m)）＜1/2^m，由于lim（m→∞）1/2^m=0，故对任意正数ε，存在正整数N，当n＞m＞N时，|Xn-Xm|＜1/2^m＜ε，由柯西收敛原理，数列{Xn}收敛。

追问

谢谢 第一题是求 n次根号下1+2的n次方+3的n次方的极限啊

追答

1.lim（n→∞）(1+2^n+3^n)^(1/n)=3((1/3)^n+(2/3)^n+1)^(1/n)=3

Answer 2

1、当n→∞时，lim [(1+2^n+3^n)^(1/n)]=lim e^[(1/n)ln(1+2^n+3^n)]
因为(1/n)ln(1+2^n+3^n)满足∞/∞型，所以根据L'Hospital法则，有
lim e^[(1/n)ln(1+2^n+3^n)]=e^lim[(2^nln2+3^nln3)/(1+2^n+3^n)]=e^lim{[(2/3)^nln2+ln3]/[(1/3)^n+(2/3)^n+1]}=e^ln3=3

2、对于一个给定的自然数N，任取m>n>N，|Xm-Xn|=|sin[(m+1)/2^(m+1)]+sin[(m+2)/2^(m+2)]+…+sin(n/2^n)|
因为0<sin(n/2^n)<n/2^n<1，所以|Xm-Xn|<(m+1)/2^(m+1)+(m+2)/2^(m+2)+…+n/2^n=(n+2)/2^n-(m+2)/2^m<(n+2)/2^n<(N+2)/2^N
故，对于任意ε>0，取N满足(N+2)/2^N≤ε，对于任意的m>n>N，有|Xm-Xn|<(N+2)/2^N≤ε
所以，{Xn}在n→∞时绝对收敛，极限存在。