Question

数学抛物线

如图，抛物线的顶点坐标是(5/2, -9/8)，且经过点A(8,14).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；
（3)设点P是x轴上的任意一点，分别连结AC、BC．
试判断：PA+PB与AC+BC的大小关系，并说明理由.

Answer 1

虽然缺少图，但可以绘出草图，并解答的
解答如下：
（1）设抛物线的解析式为y=a×(x-5/2)²-9/8
∵抛物线经过A（8，14）
∴14=a×（8-5/2）²-9/8，解得：a=1/2
∴y=(x-5/2)²/2 -9/8（或y=x²/2 -5x/2 +2）
（2）令x=0得，y=2
∴B(0，2)
令y=0得, x²/2 -5x/2 +2=0，解得x1=1；x2=4
∴C(1，0)，D(4，0)
（3）结论：PA+PB≥AC+BC
理由是：
①当点P与点C重合时，有PA+PB=AC+BC
②当点P异于点C时
∵直线AC经过点A（8，14），C（1，0）
∴直线AC的解析式为：y=2x-2
设直线AC与y轴相交于点E，令x=0，得y=-2
即E(0，2)，则点E(0，-2)与B（0，2）关于x轴对称
∴BC=EC，连结PE，则PE=PB
∴AC+BC=AC+EC=AE
∵在△APE中，有PA+PE＞AE
∴PA+PB =PA+PE＞AE=AC+BC
综上所述，可得，AP+BP≥AC+BC

Answer 2

解:(1)已知抛物线的顶点坐标是(5/2, -9/8)，抛物线的解析式可设成顶点式y=a(x-5/2)^2-9/8
抛物线 经过点A(8,14) 所以点A必须满足抛物线的解析式 即14=a(8-5/2)^2-9/8
解得a=1/2 抛物线的解析式y=[(x-5/2)^2]/2-9/8
(2)设点B为(0，y） 点C为(X1，0） 点D为(X2，0）
由y=[(x-5/2)^2]/2-9/8 解得y=2 X1=1 X2=4
点B为(0，2） 点C为(1，0） 点D为(4，0）
(3) PA+PB>=AC+BC
作点B关于x轴的对称点B′(0，-2） 连接AB′可得与x轴的交点刚好为点C为(1，0）
若点P是x轴上的任意一点(当点P与点C不重合) 通过作图并结合三角形的三边关系(两边之和大于第三边) 可得 PA+PB >AC+BC
当点P与点C重合 PA+PB =AC+BC
综上所示: PA+PB>=AC+BC

Answer 3

125分

Answer 4

没图